Question 1

トラスの静定・不静定の判別に関する次の記述のうち、適当なものはどれか。

Accepted Answer

部材数と反力数の和が節点数の2倍なら静定である。【解説】トラスは、細長い部材の端どうしをピンでつないだ骨組で、各部材には伸ばす力か縮める力（軸方向力）だけが生じると考えます。この構造が計算だけで解けるかどうかを、数を数えるだけで判定できるのが判別式です。考え方は、未知数の数と、立てられる式の本数を比べるというものです。未知数は、部材の軸方向力が部材数だけ、支点の反力が反力数だけあります。一方で式は、それぞれの節点について水平方向と鉛直方向のつり合いが立つので、節点数の2倍だけ作れます。したがって、部材数と反力数の和が節点数の2倍と等しければ、未知数と式の数がちょうど釣り合い、つり合い条件だけで全部の部材力が求まります。これが静定トラスです。和が節点数の2倍より大きければ式が足りず、部材の伸び縮みまで考えないと解けない不静定トラスになります。逆に小さければ式のほうが多く、形を保てない不安定な骨組ということになります。（根拠：構造力学におけるトラスの静定・不静定の判別によります）【他の選択肢が不適切な理由】「部材数と反力数の和が節点数に等しければ静定である」は誤りで、節点1つにつき式は2本立つため、比べる相手は節点数の2倍です。「部材数が節点数の2倍であれば静定である」も誤りで、反力数を数に入れていないため判別できません。「反力数が3であれば部材数によらず静定である」も誤りで、反力が3でも部材の数が過不足であれば不静定にも不安定にもなります。

Question 2

トラスにおける無応力部材（ゼロ部材）に関する次の記述のうち、適当なものはどれか。

Accepted Answer

荷重のない2部材節点では両部材の力がゼロになる。【解説】トラスの部材力を求めるとき、計算する前に力がゼロだと分かる部材を見つけておくと、あとの計算が大きく減ります。この部材を無応力部材、あるいはゼロ部材といいます。見つけ方の基本は二つです。一つ目は、荷重も反力も作用していない節点に部材が2本しか集まっていない場合です。その2本が一直線上に並んでいない限り、両方ともゼロになります。理由は簡単で、節点でつり合うには互いの力を打ち消し合う必要がありますが、向きが違う2本の力は、どちらもゼロでない限り打ち消し合えないからです。二つ目は、荷重も反力もない節点に3本の部材が集まり、そのうち2本が一直線上に並んでいる場合です。このとき、一直線上にない残りの1本がゼロになります。注意したいのは、ゼロになるのはその載荷状態に限られるという点です。荷重の載り方が変われば力を負担しますし、骨組の形を保つためにも必要なので、取り除いてよいという意味ではありません。（根拠：構造力学における節点法によるトラスの部材力の算定によります）【他の選択肢が不適切な理由】「ゼロ部材はどの載荷状態でも力を負担しない部材である」は誤りで、力がゼロになるのはその荷重の載り方のときだけです。「3部材が集まる節点では1部材が必ずゼロになる」も誤りで、ゼロになるのは荷重がなく、かつ3本のうち2本が一直線上に並んでいる場合に限られます。「ゼロ部材はトラスの上弦材にだけ現れる部材」も誤りで、斜材や垂直材にも現れます。

Question 3

支点Aと支点Bが水平距離6.0mで離れた単純支持のトラスがある。ABを下弦材とし、ABの中央の真上3.0mにある節点Cと両支点をそれぞれ斜材で結んだ三角形のトラスに、節点Cへ鉛直下向きの荷重24kNが作用している。このとき下弦材ABに生じる軸方向力として、適当なものはどれか。

Accepted Answer

12kN（引張）。【解説】トラスの部材力は、節点ごとに力のつり合いを立てて求めます。これを節点法といいます。手順は、まず支点反力を求め、次に未知の部材が2本以下の節点から順に解いていくというものです。この骨組は左右対称で、荷重も中央に載っています。したがって両支点の反力は等しく分け合います。各支点の反力＝24÷2＝12kN（上向き）次に支点Aの節点を見ます。ここに集まるのは、斜材ACと下弦材ABの2本だけなので、そのまま解けます。頂点Cは水平に3.0m、鉛直に3.0m離れているので、斜材ACは水平面に対して45度の向きです。45度ということは、この部材の力の水平成分と鉛直成分が等しくなります。鉛直方向のつり合いより、斜材ACの鉛直成分が反力12kNを打ち消す必要があります。斜材ACの鉛直成分＝12kN（下向き、すなわち圧縮）45度なので斜材ACの水平成分＝12kN水平方向のつり合いより下弦材ABの力＝12kN（引張）斜材が支点を外側へ押し広げようとするのを、下弦材が引っ張って押さえている形です。三角形の下辺が引張になるのはこのためで、力の向きを図で思い浮かべると符号の取り違えを防げます。（根拠：構造力学における節点法によるトラスの部材力の算定によります）【他の選択肢が不適切な理由】「12kN（圧縮）」は大きさは合っていますが向きが逆で、下弦材は外側へ広がるのを押さえるため引張になります。「17kN（引張）」は斜材ACに生じる力の大きさ（およそ17.0kN）で、しかも斜材は圧縮です。「24kN（引張）」は荷重そのものの値で、2つの支点で分け合うことを考えていません。

Question 4

上弦材と下弦材が平行で、その中心間の距離（トラス高）が4.0mである平行弦トラスがある。支間中央の断面における曲げモーメントが160kN·mであるとき、その位置の下弦材に生じる軸方向力として、適当なものはどれか。

Accepted Answer

40kN（引張）。【解説】平行弦トラスは、はりを骨組に置き換えたものだと考えると分かりやすくなります。はりが曲げモーメントに抵抗するとき、断面の上側が縮み、下側が伸びます。トラスでは、その役割を上弦材と下弦材が受け持ちます。そこで、求めたい部材を含む位置でトラスを切り、切り口の左側だけを取り出してつり合いを考えます。これを断面法といいます。上弦材と下弦材は水平で、その間隔がトラス高です。上弦材の圧縮力と下弦材の引張力が対になって、断面に働く曲げモーメントとつり合います。この対の力は、力の大きさに間隔を掛けたものが曲げモーメントに等しくなるという関係にあります。したがって弦材の軸方向力＝曲げモーメント÷トラス高弦材の軸方向力＝160÷4.0＝40kN下側は伸びる側なので、下弦材は引張です。この関係から、トラス高を大きくとるほど弦材に生じる力が小さくなることが分かります。長支間の橋梁でトラス桁の高さが大きいのは、この理由によります。（根拠：構造力学における断面法によるトラスの弦材力の算定によります）【他の選択肢が不適切な理由】「640kN（引張）」は曲げモーメントにトラス高を掛けた値で、割るべきところを掛けています。「40kN（圧縮）」は大きさは合っていますが向きが逆で、下側は伸びる側なので引張になります。「80kN（引張）」はトラス高を半分の2.0mとして計算した値で、上下の弦材の中心間距離を取り違えています。

Question 5

影響線に関する次の記述のうち、適当なものはどれか。

Accepted Answer

影響線は荷重の位置を動かしたときの値の変化を示す。【解説】橋の上を車が走ると、荷重の位置は刻々と変わります。このとき、ある一点の反力や曲げモーメントがいくつになるかは、荷重がどこにあるかで変わります。そこで、大きさ1の荷重を橋の上で少しずつ動かしながら、着目した一点の値がどう変化するかを描いた図が影響線です。ここが断面力図との決定的な違いです。断面力図は、荷重の位置を固定したうえで、位置ごとの断面力の大きさを描いたものです。横軸の意味が、影響線は荷重の位置、断面力図は着目する断面の位置であり、正反対だと理解してください。影響線を描いておくと、値が最も大きくなる荷重の載せ方、すなわち最も不利な載荷位置がひと目で分かります。列車や自動車のように位置が変わる荷重を扱う橋梁の設計で欠かせない道具です。単純ばりの支点反力の影響線は、その支点の位置で1、反対側の支点で0となる直線です。曲げモーメントの影響線は、着目点で折れ曲がる三角形の形になります。（根拠：構造力学における影響線の定義と用途によります）【他の選択肢が不適切な理由】「影響線は一つの荷重位置における断面力の分布を示す」は誤りで、それは断面力図の説明です。影響線の横軸は荷重の位置を表します。「単純ばりの反力の影響線は放物線の形状になる」も誤りで、反力の影響線は直線になります。「影響線は静定構造物にだけ描くことができる図」も誤りで、不静定構造物についても影響線を描くことができ、その場合は曲線になります。

Question 6

支間10mの単純ばりにおいて、左支点から4.0mの位置にある点Cの曲げモーメントの影響線について、その最大の縦距として適当なものはどれか。

Accepted Answer

2.4m。【解説】曲げモーメントの影響線は、大きさ1の荷重を支間上で動かしたときに、着目した点Cの曲げモーメントがいくつになるかを描いた図です。単純ばりでは、点Cの真上に荷重が来たときが最も大きくなり、図は点Cで折れ曲がる三角形になります。最大の縦距は、荷重が点Cの真上に載ったときの点Cの曲げモーメントですから、実際に計算してみれば求まります。左支点からの距離を4.0m、右支点までの残りを6.0m、支間を10mとします。大きさ1の荷重が点Cに載ったときの右支点の反力＝1×4.0÷10＝0.40点Cの曲げモーメント＝右支点の反力×6.0＝0.40×6.0＝2.4したがって最大の縦距は2.4mとなります。式でまとめると、着目点から左支点までの距離と右支点までの距離を掛け、支間で割った値になります。この図が手元にあると、集中荷重が載ったときの点Cの曲げモーメントは縦距に荷重を掛けるだけ、等分布荷重なら影響線の面積に荷重の強さを掛けるだけで求まります。（根拠：構造力学における単純ばりの曲げモーメント影響線によります）【他の選択肢が不適切な理由】「2.5m」は支間10mを4等分した値で、着目点の左右の距離の積を使っていません。「4.0m」は左支点から着目点までの距離そのもので、支間で割る手順が抜けています。「6.0m」は着目点から右支点までの距離そのもので、同じく縦距ではありません。

Question 7

スパン6.0mの単純ばりの中央に、集中荷重60kNが鉛直下向きに作用している。このはりの曲げ剛性EIが2.0×10⁴kN·m²であるとき、スパン中央に生じるたわみとして、適当なものはどれか。

Accepted Answer

13.5mm。【解説】たわみとは、はりが荷重によって下にたわむ量のことです。単純ばりの中央に集中荷重が載る場合、中央のたわみは、荷重にスパンの3乗を掛け、48と曲げ剛性の積で割って求めます。この公式で押さえておきたいのは、スパンが3乗で効くという点です。スパンが2倍になると、たわみは8倍にもなります。桁の長い橋でたわみが問題になりやすいのは、この3乗の効き方によります。分母の曲げ剛性は、材料の変形しにくさを表すヤング係数と、断面の形の効果を表す断面二次モーメントの積で、この値が大きいほどたわみません。数値を代入します。スパンの3乗＝6.0×6.0×6.0＝216分子＝60×216＝12,960分母＝48×2.0×10⁴＝9.6×10⁵たわみ＝12,960÷960,000＝0.0135mたわみ＝13.5mm単位の扱いに注意してください。荷重をkN、長さをm、曲げ剛性をkN·m²でそろえれば、答えはmで出ます。最後にミリメートルへ直します。（根拠：構造力学における単純ばりのたわみの算定式によります）【他の選択肢が不適切な理由】「27.0mm」は分母の係数を48ではなく24として計算した値です。「216.0mm」は片持ちばりの自由端のたわみの式を使い、分母を3と曲げ剛性の積とした場合の値で、支持条件が違います。「6.75mm」は分母の係数を96として計算した値で、公式の係数を取り違えています。

Question 8

スパン6.0mの単純ばりの全長にわたって、8.0kN/mの等分布荷重が作用している。このはりの曲げ剛性EIが1.5×10⁴kN·m²であるとき、スパン中央に生じる最大たわみとして、適当なものはどれか。

Accepted Answer

9.0mm。【解説】等分布荷重を受ける単純ばりの最大たわみは、スパンの中央に生じます。その大きさは、荷重の強さにスパンの4乗を掛けて5倍し、384と曲げ剛性の積で割って求めます。集中荷重の場合はスパンの3乗でしたが、等分布荷重では4乗になります。理由は、荷重の合計そのものがスパンに比例して増えるためです。荷重の強さが同じでもスパンが2倍になれば、たわみは16倍にもなります。数値を代入します。スパンの4乗＝6.0×6.0×6.0×6.0＝1,296分子＝5×8.0×1,296＝51,840分母＝384×1.5×10⁴＝5.76×10⁶たわみ＝51,840÷5,760,000＝0.009mたわみ＝9.0mmなお、荷重の強さの単位がkN/mであることを見落とし、合計荷重と取り違えないよう注意してください。この式に代入するのは1mあたりの強さのほうです。（根拠：構造力学における単純ばりのたわみの算定式によります）【他の選択肢が不適切な理由】「1.8mm」は分子の係数5を掛け忘れた値です。「72.0mm」は分母の係数を384ではなく48として計算した値で、集中荷重の場合の係数と取り違えています。「1.5mm」はスパンを4乗ではなく3乗として計算した値で、等分布荷重では4乗になります。

Question 9

影響線の利用に関する次の記述のうち、適当でないものはどれか。

Accepted Answer

移動荷重を扱う橋梁の設計では用いられない図。【解説】影響線は、荷重の位置を動かしたときに、着目した一点の反力や断面力がどう変わるかを描いた図です。この図があると、位置の変わる荷重の扱いが機械的な作業に変わります。使い方は二通りだけです。集中荷重が載っている場合は、その荷重の位置における影響線の縦距に、荷重の大きさを掛けます。等分布荷重が載っている場合は、荷重が載っている区間の影響線の面積に、荷重の強さを掛けます。複数の荷重があれば、それぞれについて計算して足し合わせます。そして最も重要な使い道が、最も不利な荷重の載せ方を見つけることです。影響線の縦距が正になっている範囲にだけ荷重を載せれば、着目量が最大になります。橋の上を走る自動車や列車のように位置の変わる荷重を扱う設計では、この作業を避けて通れません。したがって「移動荷重を扱う橋梁の設計では用いられない図」は誤りで、影響線はまさに移動荷重を扱うために生まれた考え方です。（根拠：構造力学における影響線の利用方法によります）【他の選択肢が不適切な理由】「影響線を用いて最も不利な荷重位置を決められる」は正しい記述で、縦距が正の範囲に荷重を載せると着目量が最大になります。「求める量は影響線の縦距に荷重を掛けて求める」も正しい記述で、集中荷重の場合の計算方法です。「等分布荷重では影響線の面積に荷重強度を掛ける」も正しい記述で、載荷区間の面積を用います。

Question 10

部材数が15、節点数が8、支点における反力の総数が4であるトラスについて、その安定・不安定及び静定・不静定の判別として、適当なものはどれか。

Accepted Answer

3次の不静定である。【解説】トラスの判別は、未知数の数と立てられる式の本数を比べる作業です。未知数は、各部材に生じる軸方向力（部材数だけ）と支点反力（反力数だけ）です。式は、各節点について水平方向と鉛直方向のつり合いが立つので、節点数の2倍だけ作れます。この差を不静定次数といい、次の式で求めます。不静定次数＝部材数＋反力数－節点数×2数値を代入します。部材数＋反力数＝15＋4＝19節点数×2＝8×2＝16不静定次数＝19－16＝3差が正の3ですから、未知数のほうが式より3つ多い、すなわち3次の不静定トラスです。つり合い式だけでは解けず、部材の伸び縮みまで考えて解く必要があります。差が0であれば静定、負であれば式のほうが多く、部材が足りずに形を保てない不安定な骨組ということになります。ただしこの式はあくまで数の比較なので、値が0でも部材の配置が偏っていれば不安定になることがあり、最後は形を見て確かめる必要があります。（根拠：構造力学におけるトラスの静定・不静定次数の判別によります）【他の選択肢が不適切な理由】「静定である」は不静定次数が0の場合で、この骨組では19と16で差があるため当てはまりません。「1次の不静定である」は差が1の場合の判定で、計算値の3と一致しません。「不安定である」は不静定次数が負になる場合の判定で、ここでは正の値になっています。

構造力学：トラスと不静定・影響線の一問一答